Zinsrechnen

Die allgemeinen Zinsformeln berechnen die Zinsen grundsätzlich auf das anfängliche Kapital k für die gesamte Nutzungszeit t ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen. Die Zinsen werden daher erst am Ende der Nutzungszeit dem Kapital hinzugerechnet.

Jahreszinsen sind die Zinsen für die ganzjährige Nutzung eines Kapitals. Die allgemeine Zinsformel lautet:

    oder     

Monatszinsen

    oder    

Tageszinsen

     oder     

Aufgrund der besseren Teilbarkeit wird bei der Zinsrechnung für Kaufleute das Jahr zu 360 Tagen, jeder Monat einheitlich zu 30 Tagen gerechnet. Nach der bürgerlich-rechtlichen Zinsrechnung hat das Jahr 365 bzw. 366 Tage. Jeder Monat wird dabei nach seiner tatsächlichen Länge (28/29, 30 bzw. 31 Tage) gerechnet. Die bürgerlich-rechtliche Zinsrechnung wird bei Privatpersonen (Nicht-Kaufleuten) und Behörden angewendet.

Wieviel Tage sind es vom 16. Januar bis zum 25. Mai 2002?

Bürgerlich-rechtliche Zinsrechnung:

16.01.-31.01.2002     16 Tage (16.01.2002 einschließlich)
01.02.-28.02.2002     28 Tage
01.03.-31.03.2002     31 Tage
01.04.-30.04.2002     30 Tage
01.05.-25.05.2002     25 Tage (25.05.2002 einschließlich)
                                   130 Tage

Kaufmännische Zinsrechnung:

16.01.-31.01.2002     15 Tage (16.01.2002 einschließlich)
01.02.-28.02.2002     30 Tage
01.03.-31.03.2002     30 Tage
01.04.-30.04.2002     30 Tage
01.05.-25.05.2002     25 Tage (25.05.2002 einschließlich)
                                   130 Tage


oder

16.01.-16.05.2002 120 Tage (=4*30 Tage)
16.05.-25.05.2002   10 Tage (25.05.2002 einschließlich)
                                 130 Tage

Normalerweise wird der Zinssatz immer auf ein volles Jahr bezogen. Man kann ihn aber auch jeder anderen Zeitdauer anpassen:

oder

Jahreszinssatz: z = 6%

a. auf ein halbes Jahr bezogen:

b. auf 5 Monate bezogen:

c. auf 147 Tage bezogen:

Zinsen vom vermehrten Kapital (Zinsrechnung auf Hundert)

Will man von einem um die Zinsen vermehrten Kapital das vor einer gegebenen Nutzungsdauer vorhandene Ursprungskapital erfahren, so berechnet man zunächst den angepassten Zinssatz. Anschließend kann dieser angepasste Zinssatz wie ein gewöhnlicher Prozentsatz verwendet werden.

: Ursprungskapital, : vermehrtes Kapital,  : angepasster Zinssatz

Ein Kaufmann nimmt am 15. August ein Darlehen zu 8% auf. Am 9. April des folgenden Jahres zahlt er einschließlich Zinsen € 8942,-- zurück. Wie groß war das Darlehen gewesen?

15 August bis 9.April = 234 Tage
Bei 360 Tagen ist der Zinssatz 8%
bei 234 Tagen ist der Zinssatz x%
angepasster Zinssatz.

105,2% sind € 8942,--
100% sind € x
Ursprungskapital.

 

Zinsen vom verminderten Kapital (Zinsrechnung im Hundert)

Ebenso verfährt man bei einem um die Zinsen gekürzten Kapital, nur dass der angepasste Zinssatz von 100 abgezogen wird:

: Ursprungskapital, : vermehrtes Kapital,
: angepasster Zinssatz

Ein Finanzierungsinstitut gewährt am 6. April einem Geschäftsmann ein Darlehen zu 7,5%, rückzahlbar am 31. Dezember. Der Kreditvertrag bestimmt, dass das Darlehen vor der Auszahlung um die Zinsen gekürzt wird. Das Finanzierungsinstitut überweist dem Geschäftsmann daher nur € 1701,--. Wieviel hat er am 31. Dezember zurückzuzahlen?

6. April bis 31. Dezember = 264 Tage
bei 360 Tagen ist der Zinssatz 7,5%
bei 264 Tagen ist der Zinssatz x %
angepasster Zinssatz

94,5% sind € 1701,--
100% sind € x
Kapital (= rückzahlbarer Betrag).

Müssen für Kredite o.ä. bei gleichem Jahreszinssatz aber unterschiedlichen Laufzeiten die Zinsen berechnet werden, so sind nach den bisherigen Zinsformeln alle Kredite einzeln zu berechnen.

Ein Kaufmann erhielt von seiner Bank folgende Darlehen zum Zinssatz von 6%. Berechnen Sie, mit wie viel Zinsen ihn die Bank zum Jahresende (31.12.) belastet!

€ 1860,-- am 25.02.: 305 Tage;

€ 2340,-- am 09.06.: 201 Tage;

€ 948,-- am 15.10.: 75 Tage;

Zinsen insgesamt:

Mit der Einführung des Zinsteilers und der Zinszahlen kann diese Rechnung durch Umwandlung der allgemeinen Zinsformel vereinfacht werden.

Das Beispiel zeigt, dass der Bruch stets wiederkehrt. Dieser Bruch lässt sich kürzen auf . Bei anderen Zinssätzen lässt sich dieser Bruch ebenfalls kürzen, z.B. bei 4%: .

Neben dem Zinsteiler enthält der Bruch jetzt noch die veränderlichen Zahlen für Kapital und Tage, die Zinszahl:

Damit lässt sich die herkömmliche Zinsformel wie folgt zur kaufmännischen Zinsformel umwandeln:

Die oben dargestellte Beispielaufgabe lässt sich mit Hilfe der kaufmännischen Zinsformel wesentlich einfacher gestalten:

Der Zinsteiler für alle gewährten Kredite ist gleich, nämlich 60. Lediglich die Zinszahlen für jeden Kredit sind verschieden aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten. Damit ergibt sich der Gesamtzins für alle Kredite aus:

Die Lösung der Beispielaufgabe ist somit:

Zinsen insgesamt:

Es gilt folgender Handelsbrauch:

Beim Kapital werden Centbeträge nicht berücksichtigt (keine Aufrundung!).

Zinszahlen werden stets ganzzahlig angewendet (auf- bzw. ab 0,5 aufrunden).