Grafische Darstellung Scheitelpunktform Minimum und Maximum
Quadratische Funktionen (I)
Einführung
Im Gegensatz zur linearen Funktion gibt es insgesamt vier Varianten quadratische Funktionen:
Der
Graph der Quadratfunktion 
stellt eine Normalparabel dar, deren Scheitelpunkt im Ursprung eines
Achsenkreuzes liegt und deren beide Äste symmetrisch bezüglich der y-Achse
sind:
Wird in die Funktion der Normalparablen ein Faktor a eingeführt, dann werden die Parablenäste gedehnt oder gestaucht, je nachdem der Faktor größer oder kleiner 1 ist. Es gilt also:
Der Graph der Funktion 
, 
,
ist eine gedehnte oder gestauchte Normalparabel. 
bedeutet Dehnung, 
bewirkt
Stauchung längs der y-Achse. 
ist die
Normalparabel. Bei 
wird die Parabel an der
x-Achse gespiegelt.
Ähnlich wie bei der linearen Funktion wird durch einen Summanden in der
Funktion nach dem Schema 
die Parabel auf der
y-Achse verschoben. Ist 
,
wird die Parabel nach oben verschoben, bei 
nach unten. Bei 
geht der Scheitelpunkt der
Parabel durch den Ursprung des Achsenkreuzes und ergibt somit wieder eine Form
der Normalparabel.
In der Funktion 
, 
,
gibt der Summand c die Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse
eines Koordinatenkreuzes und damit die Lage des Scheitelpunktes der Parabel an. 
bedeutet, dass der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt. 
ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt auf der y-Achse in der Höhe c
liegt. Bei 
ist die Parabel zusätzlich gedehnt
oder gestaucht.
Die Grundform der quadratischen Funktion lässt sich durch einen unmittelbar
an der Variablen x ansetzenden Summanden variieren. Bei 
wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben und zwar für 
nach rechts und für 
nach links. Beachte dabei:
Für 
lautet die Funktion 
,
für 
lautet die Funktion 
!
Die Einbeziehung des Dehnungsfaktors a hat die gleiche Wirkung
wie zuvor beschrieben: Die Funktion lautet dann 
.
Die Einbeziehung von c bewirkt eine zusätzliche Verschiebung in
Richtung der y-Achse (s.o.). Die Funktion lautet dann 
.
Alle Funktionen der vorgenannten Formen lassen sich entsprechend den bereits
kennengelernten Regeln (siehe lineare Funktionen) in Funktionsgleichungen
umstellen. Bsp.: 
.
Scheitelpunktform der Parabelgleichung
Über die Funktionsgleichung 
lassen sich die
Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel bestimmen. Diese Gleichung
bezeichnet man daher als Scheitelpunktform der Parabelgleichung. Um in
einer quadratischen Funktionsgleichung 
die
Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen zu können, bringt man sie auf deren
Scheitelpunktform . Dazu ist zur Gleichung die
quadratische Ergänzung zu addieren.
Gemäß den Regeln der binomischen Formel lässt sich ein Gleichungsterm 
auflösen zu 
bzw. 
zu 
. Man kann Ähnlichkeiten zwischen der
quadratischen Funktionsgleichung der Parabel zur Auflösung der binomischen
Formel erkennen. Der Dehnungsfaktor a und die Achsenverschiebung c
bleiben zunächst unberücksichtigt. Wir erhalten dann einen Restterm 
.
Übertragen auf die binomische Formel können wir definieren: 
.
Damit gilt auch 
. Wollen
wir in der binomische Formel b extrahieren, so müssen wir durch 2a
teilen: 
. Übertragen auf
unseren Restterm bedeutet dies: 
.
Daraus folgt: 
.
Die quadratische Ergänzung zu ist also
gleich dem Quadrat des halben Koeffizienten von x.
Setzen wir diese Erkenntnisse auf die vollständige quadratische Parabelgleichung um, so erhalten wir:
.
Angewendet auf die Scheitelpunktform der Parabelgleichung erhalten wir
folgende Koordinaten für den Scheitelpunkt 
:
; 
und somit 
.
Die Scheitelpunktkoordinaten einer Parabel mit der Gleichung
geben bei 
für genau einen x-Wert den kleinsten
Funktionswert 
an. Bei 
(d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet) gehört zum x-Wert der größte
Funktionswert .
Den kleinste Funktionswert bezeichnet man als Minimum einer Funktion, den größten Funktionswert als Maximum.
Minimum und Maximum spielen bei vielen technischen und ökonomischen Berechnungen eine große Rolle (Bsp.: höchster Sonnenstand, Flutmaximum bzw. Flutscheitel, maximales Drehmoment, Gewinnmaximum, Kostenminimum, etc.).