Definitionen (Funktionen) Lineare Funktionen Beispiel 1 Beispiel 2
Funktionen - Grundlagen
Als Funktion bezeichnet man die Zuordnung von Elementen einer Menge A zu Elementen einer Menge B. Die dabei erhaltenen geordneten Elementpaare (a,
b) oder genauer die Zuordnungen werden als Relation bezeichnet. Dabei steht in den Relationen das jeweilige Element der Menge A an erster Stelle, das zugehörige Element der Menge B an zweiter Stelle. Die so entstehenden Elementpaare bilden eine dritte Menge, die sog. Relationsmenge (oft auch nur Relation).Es gibt insgesamt drei verschiedene Relationstypen, bei denen
= A x B.
- jedem Element aus der Menge A jedes Element der Menge B zugeordnet ist. Das Ergebnis ist dann die Produktmenge R
jedes Element der Menge A genau einem Element der Menge B zugeordnet ist. Diese Art der Zuordnung ist eindeutig. Eine Relation mit eindeutiger Zuordnung bezeichnet man als Funktion.
In diesem Fall sind jedem Element aus Menge A alle Elemente aus Menge B zugeordnet. Das Ergebnis bildet also das Produkt aus den Mengen A und B.
2.
Jedem Element der Menge A ist genau ein Element der Menge B zugeordnet. Die Relation bildet also eine Funktion.
3.
In vielen Fällen werden einem Element einer Menge A (hier Zugnummer) mehrere Elemente einer Menge B (hier Bahnhof) zuzuordnen sein. Diese Relationen sind nicht eindeutig, da keine Rückschlüsse von der Menge B auf die Menge A möglich sind. Oder anders ausgedrückt: Man kann bei der Nennung eines Bahnhofes nicht erkennen, welcher Zug nun gemeint ist. Gleichzeitig ist es aber auch nicht möglich, durch die Nennung eines Zuges bzw. einer Zugnummer einen Bahnhof eindeutig zu identifizieren.
Die Relationsmengen der vorgenannten Beispiele sehen wie folgt aus:
R={(A;1),(A;2),(A;3),(A;4),(A;5),(A;6),(B;1),(B;2),(B;3),(B;4),(B;5),(B;6),(C;1), (C;2),(C;3),(C;4),(C;5),(C;6),(D;1),(D;2),(D;3),(D;4),(D;5),(D;6),(E;1),(E;2), (E;3),(E;4),(E;5),(E;6),(F;1),(F;2),(F;3),(F;4),(F;5),(F;6)}
R={(A;1),(B;2),(C;3),(D;4),(E;5),(F;6)}
R={(IC611 ;Dortmund Hbf),(IC611 ;Düsseldorf Hbf),(IC611 ;Düsseldorf Flughafen),(S8;Neuss Hbf),(S8;Neuss Süd),(S8;Mönchengladbach Hbf) ,(S8;Wuppertal Hbf),(S11 ;Düsseldorf Hbf),(S11 ;Neuss Hbf),(S11 ;Neuss Süd), (S28;Düsseldorf Hbf),(S28;Kaarster See),(S6;Düsseldorf Hbf) ,(S6;Langenfeld),(RE10417;Düsseldorf Hbf),(RE10417;Aachen Hbf), (S1 ;Dortmund Hbf),(S1 ;Düsseldorf Hbf),(S1 ;Düsseldorf Flughafen),(ICE148;Düsseldorf Hbf),(RE10426;Düsseldorf Hbf) ,(RE10426;WuppertalHbf)}
Hinweis: Merken Sie sich den Begriff der Relation für den weiteren Unterricht in Informationswirtschaft bzw. Organisationslehre. Er wird dort im Rahmen der Datenbanken ebenfalls Verwendung finden!
Als Produktmenge AxB versteht man die Menge aller geordneten Paare (a;b), die aus den Mengen A und B gebildet werden können. Eine Relation ist die Menge geordneter Paare (a;b) aus den Mengen A und B.
Der Definitionsbereich D einer Relation ist die Menge aller Elemente, die in den Wertepaaren an erster Stelle stehen. Der Wertebereich W ist die Menge aller Elemente, die in den Wertepaaren an zweiter Stelle vorkommen.
Eine Relation ist eine Funktion, wenn jedem Element aus D genau ein Element aus W zugeordnet ist. Die Relation ist also eindeutig.
Beachte: Bei einer Funktion kann der Wertebereich durchaus kleiner sein als der Definitionsbereich. D.h. mehreren Elemente einer Menge A kann ein Element einer Menge B zugeordnet sein!
Funktionen sind eindeutig definierte Relationen. Der Wertebereich W einer Funktion lässt sich also mit Hilfe mathematischer Methoden aus dem Definitionsbereich D berechnen.
Ein Mountainbike kostet 750,-€. Dann kosten 2 Mountainbikes 1500,-€ = 2*750,-€, 3 Mountainbikes 2250,-€ = 3*750,-€ usw. Bezeichnen wir den Gesamtpreis mit y und die Anzahl der Mountainbikes mit x, so könnten wir eine Gleichung aufstellen der Form:
y=750x bzw. y€=750,-€*x
Setzen wir für den Platzhalter x nacheinander die Werte 1,2,3,... ein, so
erhalten wir für den Platzhalter y nacheinander die Werte 750, 1500, 2250, ...
. Die Gleichung
y = 750x legt also die Funktion 
fest. Man spricht daher von einer Funktionsgleichung.
Die bisher benutzten Darstellungsformen einer Funktion waren ein Pfeildiagramm oder eine Paarmenge. Daneben können Funktionen auch durch eine Wertetafel, einen Grafen oder wie oben durch eine Gleichung definiert werden.
|
Definitionsbereich D |
x |
1 |
3 |
5 |
|
Wertebereich W |
750x |
750 |
2250 |
3750 |
In dieser Tabelle bezeichnet man das Element 1 aus D Stelle (Argument), das zugeordnete Element 750 aus W Funktionswert an der Stelle 1 bzw. Funktionswert für das Argument 1. 3750 ist demnach der Funktionswert an der Stelle 5 bzw. für das Argument 5. Für Funktionswert an der Stelle x bzw. Funktionswert von x schreibt man auch:
(f von x).
In der allgemeinen Schreibweise von Funktionen 
steht x also für die Stelle und f(x) für den
Funktionswert. Statt f(x) kann man auch schreiben y.
D.h. ist gleichbedeutend mit 
.
Die Wertepaare einer Wertetafel lassen mit Hilfe eines Achsenkreuzes grafisch als Bildpunkte darstellen.
Die horizontale Linie des Achsenkreuzes bezeichnet man als x-Achse. Auf ihr werden die Werte des Definitionsbereichs eingetragen. Die vertikale Achse heißt y-Achse und
bildet den Maßstab für den Wertebereich der Funktion. Den Schnittpunkt beider Achsen bezeichnet man als Ursprung des Grafen. Die vom Ursprung ausgehenden Abschnitte der x-Achse und der y-Achse heißen Achsenschenkel. Die von je zwei Achsenschenkel eingeschlossenen Zeichenbereiche heißen Quadranten und werden im Uhrzeigersinn von 1 bis 4 durchnumeriert:
I II IV III
Positive Werte (d.h. Werte > 0) werden grundsätzlich auf der x-Achse rechts vom Ursprung, auf der y-Achse oberhalb des Ursprungs abgetragen, negative Werte auf der x-Achse links vom Ursprung bzw. auf der y-Achse unterhalb des Ursprungs. Beide Achsen können nach beiden Seiten beliebig verlängert werden, so dass in einem Achsenkreuz unendlich viele Wertepaare bzw. Bildpunkte dargestellt werden können.
Wählen wir x aus der Menge der rationalen Zahlen 
,
so erhalten wir für 
dann eine Gerade, wenn 
ist,
d.h. wenn beide Elemente des Wertepaares aus dem Raum der Rationalen Zahlen
stammen.
Grundsätzlich gilt: Wenn der Definitionsbereich aus dem Raum der Rationalen
Zahlen gewählt ist, dann ist die durch eine Funktion definierte Linie (in
diesem Fall eine Gerade) unendlich lang. In der Zeichnung kann jeweils nur ein
repräsentativer Ausschnitt dieser Linie dargestellt werden. Durch die Angabe
des Zeichenbereichs 
für die x-Stellen wird
dieser repräsentative Ausschnitt der Linie festgelegt und damit eine Anleitung
für die grafische Darstellung gegeben.
Die von mehreren Bildpunkten eines Achsenkreuzes festgelegte Kurve (in unserem Beispiel eine Gerade) wird als Graf bezeichnet. In dem einfachsten Fall einer Geraden kann diese durch zwei Bildpunkte festgelegt werden. Um mögliche Zeichenfehler zu vermeiden sollten allerdings besser 3 Bildpunkte gewählt werden.
Außer durch diese Methode lässt sich der Verlauf einer Geraden im Achsenkreuz auch durch den Schnittpunkt mit der x-Achse und deren Steigung definieren. Im Falle unseres Beispiels wird die Steigung der Geraden durch den Einzelpreis festgelegt: 750.
Die Gerade mit der Gleichung y = 750x hat die Steigung 750, eine
Gerade mit der Gleichung y = 2x hat die Steigung 2, eine Gerade
mit der Gleichung 
hat die Steigung 
usw.
Allgemein bezeichnet man die Steigung einer Geraden mit m und erhält als Geradengleichung die Form:
Die Steigung einer Geraden ist das Verhältnis des vertikalen und des
horizontalen Längenunterschiedes zwischen zwei Punkten einer Geraden
oder - wenn der vertikale Längenunterschied als dy, der horizontale
Längenunterschied als dx definiert wird:
Durch die Gleichung y = mx wird die Funktion 
bestimmt.
Eine Gerade mit der Gleichung y = mx verläuft durch den
Ursprung des Achsenkreuzes. Man sagt kurz: y = mx ist die Gleichung
einer Ursprungsgeraden.
Tauscht man die Elemente der Funktionsgleichung y = mx aus, so erhältTnan die Umkehrung der Gleichung: x = my aus der Umkehrung der Funktion:
. Diese Gleichung
muss dann noch nach y aufgelöst werden:
(Gleichung der Umkehrfunktion)
Grafisch ist die Umkehrfunktion 
durch Spiegelung der Bildpunkte der Funktion 
an
der ersten Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes zu lösen.
